PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

ESPERANZA MATEMÁTICA

La esperanza matemática también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media; se define como el valor esperado o media de la variable aleatoria ‘X’ es decir el número E[X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

La esperanza presenta ciertas propiedades:

Sean A y B dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria:

1.       E(A) = A

2.       E(BX) = B E(X)

3.       E(X + A) = E(X) + E(A) = E(X) + A

4.       E(A + bX) = E(A) + B E(X) = A + B E(X)

Ejemplo con la propiedad número 4:

ü  La variable X equivale al número de pacientes que asisten a la Clínica Mérida a la consulta de Cardiología durante la primera semana (lunes a viernes) del mes de Agosto del año 2014.

Asiste una cantidad de 100 pacientes con la siguiente distribución:

L-20Pac        f(1)= 20/100 M-10Pac       f(2)= 10/100 Mi-30Pac      f(3)= 35/100 J-25Pac         f(4)= 20/100 V-15Pac        f(5)= 15/100

 

X	1	2	3	4	5
P(X=x)	0.2	0.1	0.35	0.2	0.15

Teniendo en cuenta que el costo de la consulta es de Bs 400; siendo el costo del material quirúrgico y sueldo del personal equivalentes a Bs150 semanales. ¿Cuál es la ganancia neta esperada?

Para (X) pacientes a la semana ganancia esperada es de Bs 400 – Bs 150 de los gastos de la clínica, la ganancia neta es de (400X-150)

E(X) = ∑xi. P(X=x) = 0.1+0.2+1.05+0.8+0.75 = 2.9

Tomando en cuenta la cuarta propiedad

E(400X-150) = 400E(X) – 150 = 400(2.9) – 150 = Bolívares 1010 de ganancia semanal neta.

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio

Propiedades que se citan en  la Variancia:

Debido a que la varianza se define en términos de la esperanza matemática, también ella posee propiedades. Además las propiedades de la varianza son equivalentes a las de la Desviación estándar, ya que solo se le debe agregar la raíz cuadrada a dicha propiedad:

Sean “A” y “B” dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria. Entonces:

1.      Var (X) no puede ser negativa

2.      Var (A) = 0

3.      Var (X + A) = Var (X) + Var(A) = Var(X)

4.      Var (BX) = B2 Var (X)